Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak

A. Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear

1). Persamaan Linear

     Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda "sama dengan" atau "=".                   sementara itu, yang dimaksud kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai       kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. 

             Persamaan Linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat                     tepat satu.

     a. Persamaan linear satu variabel

         Contoh : 

         1) 2x+10 = 0           variabel : x

         2) 2t =14                 variabel : t

     b. Persamaan linear dua variabel

         Contoh : 

         1) x+y-3z = 20        variabel : x dan y

         2) 2m-3n = 15        variabel : m dan n 

     c. Persamaan linear tiga variabel

         Contoh: 

         1) 2x+y-3z = 20     variabel : x, y, dan z

         2) 2p-5q+2r = -3    variabel : p, q, dan r 

        Mengenai Persamaan Linear satu variabel ada beberapa sifat yang perlu diperhatikan          dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel adalah sebagai berikut.

        SIFAT 1 : Nilai persamaaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambah atau                          dikurangi dengan bilangan yang sama.

        SIFAT 2 : Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikali atau                                  dibagi dengan bilangan tak nol yang sama.

2). Pertidaksamaan Linear
     Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat anda "<, ≤, >, ≥. Sedangkan             pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan yang mempunyai variabel dengan       pangkat tepat satu.

    a. Pertidaksamaan Linear satu variabel

       Contoh : 
       1. 2x = 10 > 0 (variabel : x)
       2. 2t ≤ 14 (variabel : t)

     b. Pertidaksamaan Linear dua variabel 

        Contoh : 
        1. x + 3y ≤ 9 (variabel : x dan y)
        2. 2p > 3q + 15 (variabel : p dan q )

        Penyelesaian Pertidaksamaan adalah konstanta pengganti variabel yang                              menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar. 

       Sifat - Sifat Pertidaksamaan Linear : 

       SIFAT 1 : Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas                                               pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama                                   misalnya x > y maka x + a > y + a 

      SIFAT 2 : Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau                             dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x ≤ y maka a.x ≤ y. a                               dengan a > 0 

      SIFAT 3 : Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau                              dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x ≤ y maka -x a  ≥ -y a                                  (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama).

B. Nilai Mutlak 
    
    Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud                  dengan bilangan nol.

    Contoh : 
    |8| = 8 

    |-8| = 8
      
    |0| = 0


    Sifat Sifat Nilai Mutlak 

           1. |x| ≥ 0 untuk setiap bilangan real x;
           2. |-x| = |x|, untuk setiap bilangan real x;
           3. |x - y| = |y - x|, untuk setiap bilangan real x dan y;
           4. |x| = √x²;
           5. |x|² = x²;
           6. |x . y| = |x| . |y|, untuk x, y ∈ R;
           7. , untuk x, y ∈ R dan y ≠ 0;
           8. |x - y|² = (x - y)² = x² - 2xy + y²;
           9. |x + y|² = (x + y)² = x² + 2xy + y²;
          10. Jika |x| < |y|, maka x² < y²;


      Contoh Soal dan Pembahasannya 

    1. Nilai x dari persamaan 4x – ( x + 8 ) = 2(x – 3 ) adalah …
        Jawab : 4x –x + 8 = 2x – 6
                      4x – 2x = -6 – 8
                      2X = – 14
                      X = -14/2
                      X = -7

     2. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 1 ≤ 1 adalah …
        3x + 5
        Jawab : 2x – 1 ≤ 1 x ( 3x + 5 )
                      2x – 1 ≤ 3x + 5
                      2x ≤ 3x + 5 + 1
                      2x – 3x ≤ 6
                      – x ≤ 6
                      x ≤ -6

    3. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4 ≤ 4x – 8 adalah …

        Jawab : 2x – 4x ≤ -8 -4
                     -2x ≤ -12
                      X ≤ -12/-2
                      X ≤ 6

   4. Nilai x dari persamaan 4x – 6 = 10 adalah…

       Jawab : 4x = 10 + 6
                     4x = 16
                     X = 16/4

                     X = 4

  5. Nilai x dari persamaan 14 – 4x = 6x – 16 adalah …

      Jawab : -4x -6x = -16 -14
                   -10x = – 30
                     X = -30/-10

                     X = 3    

  6. Nilai x dari persamaan 2x + 1 1 = 1x – 2 1 adalah …

      3 3 3 3
     Jawab : 2x – 1x = -2 1 – 1 1
     3 3 3 3
     1 x = -7 – 4
     3 3 3
     1x = -11
     3 3
     X = -11/3 – 1/3
     X = -12/3

     X = -4  

 7. Nilai x dari persamaan 3x + 2 = x + 2 adalah …
     2
     Jawab : 3x + 2 = (x + 2) x 2
     3x + 2 = 2 x + 4
     3x – 2x = 4 – 2
     X = 2

  8. Penyelesaian dari pertidaksamaan 8x – 3 < 6x + 3 adalah …
     Jawab : 8x – 6x < 3 + 3
     2x < 6
     X < 6/2
     X < 3

  9. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x–3|>4….

      Penyelesaian

      |x–3|>4

      (x–3)²>4²

      x²–6x>16

      x²–6x–16>0

      (x–8)(x+2)>0

      x=8 atau x=–2

     Jadi Hp{x|x<–2 atau x>8 ; X€R}

 10. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan │x–1│+│x–3│=2

       Penyelesaian

      │x–1│+│x–3│=2

      (x–1)+( x–3)²=2²

      2x²–8x+10+2│(x–1)│+│(x–3)│=4

      2│(x–1)(x–3)│= –2x²+8x–6

     │(x–1)(x–3│=x²+4x–3

     │(x–1)(x–3│= –(x–1)(x–3) – – – +++ – – –

     Sifat:–a↔a≤0

     (x–1)+( x–3)≤0 1 3

     Jadi Hp {x|1≤x≤3 ; X€R}